1801年Soldner对光粒子在地球与太阳引力场中偏折现象的计算再现研究

利用该公式，索尔德纳计算了从地平线上刚刚升起的恒星的光线在地球引力场中的偏折。他所谓的引力偏折是指天文学家在地球上观测到的天空中的角位移，这是地球引力场的结果。他得出结论，在实际天文观测中，可以忽略引力偏折的影响。

索尔德纳还注意到，当一束光线在其传播过程中首先被月球或太阳偏折时，观测情况是不同的。他对太阳引力偏折进行了数值计算，并得出结论，在非常接近太阳边缘观测星星时，太阳引力偏折不能被忽视。由于实际上星星并未如此靠近太阳，因此他认为太阳引力偏折对实际天文观测没有影响。

简要推导了经典公式、广义相对论公式和索尔德纳的公式。在推导中，以地球为例，首先是因为索尔德纳也是如此做的，其次是因为（过去）在这里进行实验和天文观测。展示了索尔德纳推导的公式与经典公式是等价的。公式之所以看起来不同，仅因为他使用了与现代不同的概念来描述引力场的强度。

广义相对论的引力偏折值是经典引力偏折值的两倍。在对索尔德纳的数值计算进行重建时，将他提到的数据视为事实。对于索尔德纳未提及但重建所需的数据，进行了合理的假设。

将他的结果与使用现代数据的结果进行了比较。发现，索尔德纳计算的地球引力偏折值比现代经典值大了一个因子6.9。这个较大的差异中有一个因子6.25是由于他对擦过光线速度使用了不正确的值。剩下的差异可以归因于不够精确的数据。

为了解释这个差异，怀疑索尔德纳在与地球轴倾角相关的概念上犯了错误，导致了精确的6.25倍差异。

在对太阳的计算中，索尔德纳使用了正确的擦过光线速度值。他计算的引力偏折接近现代经典值。通过对计算进行重建，发现索尔德纳使用了257 m/s²的太阳表面重力值，接近现代值274 m/s²。

两个世纪前，“光的粒子”这个术语与现代的“光子”这个术语并没有相同的含义，就像对于德谟克利特来说，“原子”这个术语与现代术语并不相同。在经典背景下，将称之为“光线的粒子”，而在广义相对论背景下，将称之为“光子”。在两种理论背景下，光线均存在。

使用类似于Soares（2009）[2]中的双曲线方法。假设有一粒子从（近乎）无限远的恒星来到地球。在P（近地点）处，这个粒子擦过地球的表面。

在经典的情境中，物质粒子可以具有任意速度v。假设从无限远处来的粒子具有速度c = 3.00 × 10^8 m/s。从无限远处来的粒子会加速。在P处，这个粒子的速度被称为cp。

双曲线轨迹由r(ϕ) = R⊕(e + 1)/(1 + ecos(ϕ))来描述。角坐标ϕ顺时针从P开始。轨迹的离心率e在几何上定义为e = a + R⊕ / a。半长轴a的定义。地球的半径用R⊕表示，等于地球赤道周长的测量值除以2π。为这个粒子赋予质量m，并假设它的行为像一个正常的经典粒子。

对于e，有表达式e = (1 + 2EL^2 / (m^3G^2M⊕))^(-1/2)。在这个表达式中，M⊕代表地球的质量，E = 1/2mv^2 - GmM⊕ / r代表粒子的动能和势能的常数和L代表粒子相对于地球中心的恒定角动量。引力常数G = 6.7 × 10^(-11) m^3⋅kg^(-1)⋅s^(-2)。

在无穷远处，粒子只有动能E = 1/2mc^2。在P处，它具有动能加势能E = 1/2mc^2p - GmM⊕ / R⊕。根据能量守恒定律，有E = 1/2mc^2 = 1/2mc^2p - GmM⊕ / R⊕ → cp = c(1 + 2GM⊕ / c^2R⊕)^(-1/2)。

索尔德纳的数值计算

在计算地球和太阳的引力偏折的数值时，索尔德纳当然需要使用当时所知的数据。由于他没有提及计算所需的所有值，做了一些合理的假设。

在他的论文中，索尔德纳提供了一些非常精确的数值。在计算中，也使用了这些数值，而不是更加舍入的值，除非情况适用。

索尔德纳没有提及他用于光速或太阳到地球距离的数值。他只提及了光从太阳到地球的传播时间，并使用所谓的“十进制秒”作为时间单位。

十进制秒是在法国大革命期间1792年使用的一种单位，持续了几年。一个十进制秒等于0.864秒。这一点可能很容易被忽视并导致混淆。

光速

索尔德纳假设光从太阳到地球需要564.8十进制秒。这相当于488秒。目前的数值约为500秒。

在1672年，卡西尼和弗拉姆斯蒂德通过火星的观测独立地确定了太阳到地球的距离为140 × 10^9米。在1769年，拉朗德根据金星凌日的数据将距离确定为153 × 10^9米。目前的数值约为150 × 10^9米。

索尔德纳从拉普拉斯那里得到了地球半径的数值为R⊕ = 6.369514 × 10^6米。目前的数值约为6.371 × 10^6米。用地球半径表示，太阳到地球的距离在索尔德纳使用卡西尼和弗拉姆斯蒂德的数值时等于2.198 × 10^4个地球半径。

发现，对于光速的数值v/R⊕ = 38.916个地球半径每十进制秒。这个值对应于2.48 × 10^8米每十进制秒，或者是2.87 × 10^8 m/s。用地球半径表示，太阳到地球的距离在索尔德纳使用拉朗德的数值时等于2.402 × 10^4个地球半径。

发现，对于光速的数值v/R⊕ = 42.529个地球半径每十进制秒。这个值对应于2.71 × 10^8米每十进制秒，或者是3.14 × 10^8 m/s。

索尔德纳宣称，从他的数据中得出v/R⊕ = 15.562085个地球半径每十进制秒，相当于速度为1.15 × 10^8 m/s。相对于正确的值v/R⊕ = 38.916个地球半径每十进制秒（卡西尼和弗拉姆斯蒂德）缺少了一个因子2.5007（或其倒数0.3999）。

相对于正确的值v/R⊕ = 42.529个地球半径每十进制秒（拉朗德）缺少了一个因子2.7329（或其倒数0.3659）。这个缺失的因子也被Tilman Sauer (2021) [7]注意到，他估计缺失的因子约为2.6。

为了解释这个缺失的因子，认为索尔德纳从太阳到地球的传播时间中得出了光速。在这种情况下，怀疑索尔德纳通过取地球轴倾角（倾斜度）的正弦来计算速度在地球表面的分量。

对于轴倾角取23.5˚的值，有sin(23.5˚) = 0.3999，非常接近索尔德纳使用卡西尼和弗拉姆斯蒂德数值时缺失的因子。如果索尔德纳使用了拉朗德的数值，缺失的因子是0.3659，这个解释就不太符合了。这个明显精确的一致性可能只是一个纯粹的数值巧合，尽管在纯粹的技术计算错误的情况下，这将是非常巧合的。

猜测索尔德纳使用了卡西尼和弗拉姆斯蒂德的数值。可以考虑另一个原因是，卡西尼和弗拉姆斯蒂德独立于彼此确定了那个数值。这必定给了那个值可靠性。那个值在相关书籍中肯定可以找到，并且应该是众所周知的。或者，索尔德纳可能不知道拉朗德确定的数值，或者他可能更信任卡西尼和弗拉姆斯蒂德的数值。

注意到在Ginoux（2021）[9]的论文中，与索尔德纳的论文有一个与纬度35˚16’相关的联系。这个联系似乎更多地是以描述性的方式提出的，而不是将其归类为概念上的错误。在那个纬度上，并没有提及正弦，而是提及正弦的平方为1/3。

这个平方可能是导致地球由于其自转而产生所谓的重力异常的因素。因子1/3 = 0.3333和所提及纬度的正弦并不完全适合解释0.3999的因子。尽管由于这些原因，与纬度35˚16’的联系似乎不太合适，但它引发了尝试将地球的轴倾角作为解释的想法。索尔德纳用于v/R⊕的数值为15.562085。

地球的2g值索尔德纳从拉普拉斯那里得到g的数值为3.66394米，使用十进制秒。对于2g，得到数值为7.32788。当将这个数值除以地球半径的数值时，得到2g/R⊕的数值为1.150461 × 10^-6。

索尔德纳的地球引力偏折计算结果

在这些数值v/R⊕ = 15.562085和2g/R⊕ = 1.150461 × 10^-6的情况下，索尔德纳用他的公式计算得到ω = 0.004750弧度。通过乘以每弧度的角秒数（1弧度 = 206265”），发现，与索尔德纳一样，ω = 0.0009798”。

如果他使用了正确的数值v/R⊕ = 38.916，他会得到ω = 0.0001576”，这比他实际计算的值小了6.25倍。如果使用现代数据，得到ω = 0.0001435”，这比索尔德纳计算的值小了6.9倍。

1921年，罗伯特·特朗普勒（Robert Trumpler）在一个脚注中就已经给出了ω = 0.00014”。特朗普勒称这是由于使用单位的计算错误。

差异的主要部分（6.25倍）源于索尔德纳使用的光速v值的错误，怀疑可以通过一个概念上的错误来解释。如果有的话，这个概念上的错误肯定不会出现在光速在实验室中被测量的情况下，就像半个世纪后的菲泽（Fizeau）所做的那样。

结论

索尔德纳没有提及他用于太阳到地球距离的数值。因为这个距离在计算光速时是必需的，为该距离做了一个合理的假设。发现，根据他的数据，索尔德纳计算出光线在地球表面的速度比应该小了一个因子2.5。与地球轴倾角相关的概念性错误可以非常精确地解释这个因子。

他计算的地球引力偏折值相对于使用当今数据进行的计算来说，偏大了一个因子6.25。索尔德纳并没有提供有关太阳计算的更多信息。他只提到结果为0.84”，接近当前经典值0.87”。

从他的结果中推导，发现索尔德纳用于太阳的表面重力值为257 m/s²，接近当前值274 m/s²。基于这个数值的合理性，索尔德纳做这些计算的动机以及他对观测背景的描述，得出结论，索尔德纳的0.84”表示了两条路径的偏折值。

事后看来，他应该为他在计算太阳时考虑的观测背景添加一个单独的图示。这样的图示还将表明在理论上，地球上的天文学家观测到的值会略小于2ω，因为地球到太阳的距离是有限的，正如索尔德纳已经指出的。

在那个时代，知识和信息的传播不像今天的光速那样迅速，也不总是直线传播。进一步审视历史背景，比如在他写论文的时间和地点所知的精确天文数据，将有助于进一步检验对地球计算中概念性错误的怀疑。

参考文献：

[1]冯·索尔德纳（1801）“关于光线在通过一个靠近它的天体时从其直线运动中偏转的问题”，《柏林天文年鉴》。

[2] 索亚雷斯，D.S.L.（2009）“牛顿引力偏折的重新考察”，arXiv：physics/0508030v4 [physics.gen-ph]，2009年4月17日。

[3] 麦克维蒂，G.C.（1965）《广义相对论与宇宙学》，第2版，查普曼与霍尔有限公司。

[4] 莫门尼，D.（2010）“光线弯曲：一个经典分析”。

[5] 黄富友（2017）“关于一个巨大物体引力折射恒星光的准确解”。 《现代物理学杂志》，第8卷